簡(jiǎn)介面向控制理論初學(xué)者、考研備考生或即將接觸控制方向的研究生這份Dr.CAN《自動(dòng)控制原理》13期完整課程筆記濃縮了B站硬核博主關(guān)于傳遞函數(shù)、開(kāi)環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)、反饋控制、穩(wěn)定性分析、根軌跡、終值定理與穩(wěn)態(tài)誤差、PID控制器等核心專(zhuān)題的講解。筆記基于GoodNotes手寫(xiě)并輔以QQ截屏附有推導(dǎo)過(guò)程與示意圖幫助理解極點(diǎn)位置如何決定系統(tǒng)穩(wěn)定性、如何通過(guò)根軌跡與PID參數(shù)設(shè)計(jì)改善動(dòng)態(tài)性能。適合不愿邊看視頻邊截屏記錄、想要直接對(duì)照整理內(nèi)容復(fù)習(xí)的讀者也適用于期末速查與復(fù)試前知識(shí)拾遺。整個(gè)包為單份PDF大小12.27MB章節(jié)連貫可按專(zhuān)題快速翻閱。目前已有847人學(xué)習(xí)下載熱度較高也可為后續(xù)學(xué)習(xí)卡爾曼濾波、模型預(yù)測(cè)控制MPC與最優(yōu)控制夯實(shí)基礎(chǔ)。1. 控制原理不是玄學(xué)為什么系統(tǒng)穩(wěn)不穩(wěn)跟輸入長(zhǎng)什么樣無(wú)關(guān)一個(gè)反直覺(jué)的結(jié)論要先放在最前面一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)不穩(wěn)定跟你給它多大的輸入、輸入是什么形狀幾乎沒(méi)有關(guān)系。單位階躍按下去系統(tǒng)是平緩收斂還是原地發(fā)散在接通信號(hào)之前就已經(jīng)被寫(xiě)死在它的傳遞函數(shù)分母里了?？刂圃砝镒钊菀鬃屝率痔^(guò)的一環(huán)就是極點(diǎn)這個(gè)內(nèi)置性格——它決定了擾動(dòng)消失之后系統(tǒng)能不能自己回到原來(lái)的位置。這套課程資源的十三期筆記里反復(fù)追問(wèn)過(guò)一句為什么穩(wěn)定就等價(jià)于極點(diǎn)全在復(fù)平面左半邊想通這一句后面所有開(kāi)環(huán)閉環(huán)、反饋控制、PID、根軌跡的討論才有共同的錨點(diǎn)。這份筆記的推導(dǎo)順序正是從這條主線(xiàn)展開(kāi)的。2. 傳遞函數(shù)與極點(diǎn)為什么輸出的性格只由分母決定2.1 拉普拉斯變換把微分方程變成一張除法圖線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為通常寫(xiě)成一堆微分方程。微分方程難就難在同時(shí)含位置、速度、加速度。拉普拉斯變換干的第一件事是把求導(dǎo)變成乘法時(shí)域里的 dy/dt 對(duì)應(yīng) s 域的 s·Y(s)初始條件為零時(shí)整條微分方程鏈就塌縮成一個(gè)純代數(shù)公式。于是輸入端和輸出端的關(guān)系可以寫(xiě)成Y(s) G(s) · U(s)這里的 G(s) 就是傳遞函數(shù)它只描述系統(tǒng)自己U(s) 描述外界想怎么提問(wèn)。筆記里開(kāi)環(huán)系統(tǒng)那一講給出的信號(hào)流圖本質(zhì)就是輸入過(guò)一個(gè)框輸出等于輸入乘框里的代數(shù)式而反饋只是把輸出再接回去參與一次減法。這里值得深挖一層為什么微分方程變代數(shù)方程就能成立因?yàn)?e^{st} 是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的特征函數(shù)——系統(tǒng)對(duì)它的響應(yīng)還是同一個(gè) e^{st} 乘一個(gè)復(fù)數(shù)增益。這就是傳遞函數(shù)存在的數(shù)學(xué)根基也是后面一切用算子代替微積分操作合法性的來(lái)源。import sympy as sp s, t sp.symbols(s t) G 2 / ((s 1) * (s 3)) # 一個(gè)二階慣性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) Y G / s # 輸入單位階躍 1/s求輸出響應(yīng) sp.factor(sp.apart(Y, s)) # 部分分式展開(kāi)這行代碼做的是部分分式展開(kāi)。展開(kāi)結(jié)果形如幾項(xiàng)分母為一次式的分式之和比如 2/(3s) - 1/(s1) 1/(3(s3))。每一項(xiàng)反變換回時(shí)域就是一個(gè)指數(shù)函數(shù)。注意關(guān)鍵第一項(xiàng)的極點(diǎn) 0 是輸入帶來(lái)的階躍信號(hào)本身是 1/s后兩項(xiàng)的極點(diǎn) -1、-3 全是 G(s) 分母的根。輸入只在 s0 處放了一個(gè)極點(diǎn)系統(tǒng)自己身上的極點(diǎn)一個(gè)沒(méi)少地出現(xiàn)在輸出里。這就是傳遞函數(shù)的性格你把任何信號(hào)灌進(jìn)去系統(tǒng)都會(huì)按自己的腔調(diào)把它重唱一遍——腔調(diào)由分母定唱多響由分子和輸入一起定。2.2 極點(diǎn)與模態(tài)分母為零的地方藏著系統(tǒng)自帶的振動(dòng)模式為什么偏偏要看分母因?yàn)椴糠址质秸归_(kāi)后的每一項(xiàng)時(shí)域形態(tài)都是 A_i · e^{p_i t}其中 p_i 是分母等于零的根也就是極點(diǎn)A_i 是由分子和輸入共同決定的常數(shù)。e^{p_i t} 這個(gè)指數(shù)項(xiàng)就是系統(tǒng)的模態(tài)——它不依賴(lài)外界是齊次方程的解也就是沒(méi)人推它它也在演的部分。系統(tǒng)有多少個(gè)極點(diǎn)就至少有多少個(gè)這樣的指數(shù)模態(tài)虛部決定振蕩頻率實(shí)部決定每個(gè)模態(tài)是越來(lái)越大還是越來(lái)越小。二階欠阻尼系統(tǒng)最好體會(huì)這一點(diǎn)一對(duì)共軛極點(diǎn)寫(xiě)成 -σω_n ± jω_dω_d 就是振蕩頻率σ 決定衰減快慢二者組合成超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。極點(diǎn)往左挪衰減變快、調(diào)節(jié)時(shí)間變短極點(diǎn)帶上虛部響應(yīng)就多出振蕩成分。筆記里那句最終輸出里含有分母的極點(diǎn)說(shuō)的正是這件事無(wú)論你輸入什么只要系統(tǒng)是線(xiàn)性的輸出里那些瞬態(tài)項(xiàng)必然由分母的根生成。分子在這里唯一能做的事是調(diào)整每一項(xiàng)前面的系數(shù) A_i——分子改的是音量分母改的是音色。2.3 分子只發(fā)入場(chǎng)券零點(diǎn)改變權(quán)重不改變生死有一個(gè)常見(jiàn)誤用必須點(diǎn)破有人看到仿真輸出爆炸第一反應(yīng)是輸入給得太大了。其實(shí)輸入只決定振幅決定爆不爆的是極點(diǎn)的實(shí)部符號(hào)。分子上的零點(diǎn)確實(shí)有用零點(diǎn)靠近某個(gè)極點(diǎn)時(shí)那個(gè)模態(tài)的權(quán)重 A_i 會(huì)變得極小輸出里幾乎看不見(jiàn)它這就是零極點(diǎn)抵消現(xiàn)象的原理。但零點(diǎn)改變的是哪些模態(tài)被激得響不改變系統(tǒng)到底有哪些模態(tài)。所以任何穩(wěn)定性分析的第一步永遠(yuǎn)是看分母根的位置分子先放一邊等做性能分析時(shí)再回來(lái)討論零點(diǎn)怎么影響超調(diào)。注意零極點(diǎn)抵消可以在數(shù)學(xué)上約分但物理上那個(gè)模態(tài)照樣存在。實(shí)際系統(tǒng)的參數(shù)一漂移零點(diǎn)挪開(kāi)被約掉的模態(tài)立刻原形畢露。課堂上允許約分工程上要留個(gè)心眼。3. 穩(wěn)定性分析左半平面、勞斯判據(jù)與終值定理原來(lái)是同一件事3.1 s σ jω極點(diǎn)的橫坐標(biāo)是生死線(xiàn)把極點(diǎn)寫(xiě)成 s σ jωe^{st} 就變成 e^{σt}·e^{jωt}。e^{jωt} 是等幅旋轉(zhuǎn)真正決定振幅走向的是 σ。于是極點(diǎn)位置與時(shí)域行為有了嚴(yán)格的一一對(duì)應(yīng)σ 小于 0指數(shù)衰減振蕩也會(huì)被壓住σ 等于 0系統(tǒng)落在虛軸上進(jìn)入等幅振蕩或不收斂的臨界狀態(tài)σ 大于 0指數(shù)發(fā)散哪怕一開(kāi)始數(shù)值很小遲早穿破屏幕。極點(diǎn)位置實(shí)部 σ時(shí)域形態(tài)左半平面σ 0指數(shù)衰減或衰減振蕩收斂虛軸上σ 0等幅振蕩或保持恒值回不去右半平面σ 0指數(shù)發(fā)散或發(fā)散振蕩筆記里用單擺講這事單擺放在最低點(diǎn)拿手一撥擺著擺著?；卦粚?duì)應(yīng)一對(duì)左半平面共軛極點(diǎn)把單擺倒過(guò)來(lái)立在頂點(diǎn)稍微偏一點(diǎn)就直接倒下去對(duì)應(yīng)右半平面極點(diǎn)。兩個(gè)平衡位置都存在但只有左半平面那個(gè)是穩(wěn)定平衡。系統(tǒng)通常有一堆極點(diǎn)只要其中任何一枚落在右半平面整體就宣告不穩(wěn)定——這是木桶效應(yīng)不需要等仿真炸穿屏幕。反饋控制干的第一件正事就是想辦法把可能出現(xiàn)在右半平面的極點(diǎn)拽回左半。3.2 勞斯判據(jù)不解特征方程也能判斷橫坐標(biāo)符號(hào)判斷一堆極點(diǎn)是否全在左半最笨的辦法是解特征方程。三階以上沒(méi)有通用求根公式每次解都不現(xiàn)實(shí)于是有了勞斯判據(jù)把特征方程系數(shù)排成一張三角表表的第一列如果符號(hào)全部相同所有極點(diǎn)就都在左半平面第一列符號(hào)變化幾次右半平面就有幾個(gè)極點(diǎn)。它繞開(kāi)了求出具體的根這個(gè)費(fèi)力問(wèn)題只數(shù)橫坐標(biāo)符號(hào)翻了幾次車(chē)。以特征方程 s3 s2 2s 8 為例勞斯表第一列依次是 1、1、?6、8出現(xiàn) 1→?6 和 ?6→8 兩次變號(hào)說(shuō)明該系統(tǒng)有兩個(gè)右半平面極點(diǎn)。不用真的解三次方程結(jié)論已經(jīng)出來(lái)。和所有系數(shù)必須為正這種必要條件不同勞斯表第一列不變號(hào)是充要條件這也是為什么教材敢把它當(dāng)穩(wěn)定性判據(jù)而不是經(jīng)驗(yàn)法則。工程里我一般這么用它先花十秒排勞斯表確認(rèn)沒(méi)有右半極點(diǎn)再放心去畫(huà)根軌跡、調(diào)參數(shù)如果勞斯表這關(guān)都不過(guò)后面所有時(shí)域分析都是白做。3.3 終值定理與穩(wěn)態(tài)誤差誤差是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)稅終值定理說(shuō)的是如果極限存在穩(wěn)態(tài)值等于 lim_{s→0} s·Y(s)。極限存在四個(gè)字最容易丟無(wú)阻尼振蕩系統(tǒng)永遠(yuǎn)在擺談不上穩(wěn)態(tài)此時(shí)硬套公式會(huì)算出個(gè)假值。筆記里專(zhuān)門(mén)舉了這個(gè)矛盾——系統(tǒng)在無(wú)限振動(dòng)理論上回不到某個(gè)固定數(shù)可終值公式卻能給出一位數(shù)二者沖突。問(wèn)題就出在 s·Y(s) 有一對(duì)虛軸極點(diǎn)前提不成立。穩(wěn)態(tài)誤差是同一個(gè)框架的延伸。設(shè)誤差 E(s) R(s) / (1 G(s)H(s))套終值定理會(huì)發(fā)現(xiàn)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)里含幾個(gè)積分器s0 的極點(diǎn)決定了系統(tǒng)對(duì)階躍、斜坡這類(lèi)典型輸入的誤差等級(jí)。0 型系統(tǒng)對(duì)階躍有固定比例誤差怎么調(diào)比例增益都消不掉1 型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)含一個(gè)積分器對(duì)階躍輸入誤差歸零但對(duì)斜坡輸入還有常數(shù)誤差。讀到這里你應(yīng)該明白誤差不是控制器不夠努力而是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)里沒(méi)有 s0 的極點(diǎn)來(lái)承接那一類(lèi)輸入。要消除某類(lèi)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差唯一的路是往回路里注入對(duì)應(yīng)的積分環(huán)節(jié)——這正是接下來(lái) PID 控制中積分項(xiàng)的動(dòng)機(jī)。4. PID 控制器的底層分工比例、積分、微分各自在補(bǔ)什么洞4.1 比例控制 P能加速但調(diào)不到目標(biāo)拿一階慣性對(duì)象 G(s) K/(Ts1) 試比例控制 C(s) Kp。閉環(huán)傳遞函數(shù)變成 KpK/(Ts 1 KpK)極點(diǎn)從 ?1/T 挪到 ?(1KpK)/T。Kp 越大極點(diǎn)越靠左響應(yīng)越快——比例控制的全部本事就是這一點(diǎn)把極點(diǎn)往左推。但看穩(wěn)態(tài)階躍輸入下的終值是 KpK/(1KpK)永遠(yuǎn)小于 1誤差 1/(1KpK) 只在 Kp 無(wú)窮大時(shí)才歸零。所以比例控制改的是快慢不是準(zhǔn)不準(zhǔn)系統(tǒng)類(lèi)型沒(méi)變結(jié)構(gòu)性誤差就還在。這也是為什么單靠 P 旋鈕調(diào)不出好性能它把響應(yīng)調(diào)快了但目標(biāo)值永遠(yuǎn)差一截追求零誤差只能把 Kp 調(diào)大調(diào)大又帶來(lái)噪聲和超調(diào)。4.2 積分控制 I用升階換穩(wěn)態(tài)精度PI 控制 C(s) Kp Ki/s 引入了一個(gè)位于 s0 的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。這一步的本質(zhì)是把系統(tǒng)類(lèi)型從 0 型抬成 1 型階躍輸入在 s0 的極點(diǎn)被誤差傳遞函數(shù)分母里的積分環(huán)節(jié)頂?shù)舴€(wěn)態(tài)誤差歸零。代價(jià)立刻顯現(xiàn)——對(duì)象本來(lái)一階回路里多一個(gè)積分器閉環(huán)至少變二階。二階系統(tǒng)可能欠阻尼超調(diào)、振蕩隨之而來(lái)Ki 越大振蕩越兇甚至可能把閉環(huán)極點(diǎn)推回右半平面。筆記里的說(shuō)法很直白純比例反應(yīng)快但穩(wěn)不到理想值加積分能穩(wěn)到理想值但反應(yīng)變慢。一階系統(tǒng)加純積分變二階這是教科書(shū)反復(fù)強(qiáng)調(diào)的積分會(huì)讓系統(tǒng)升階理解了這個(gè)就不會(huì)奇怪為什么積分增益不是越大越好。4.3 微分控制 D給系統(tǒng)提前量代價(jià)是怕噪聲微分項(xiàng) Kd·de/dt 干的事是對(duì)誤差的變化趨勢(shì)做預(yù)測(cè)誤差還在增大時(shí)提前反向施力等效于給系統(tǒng)注入一個(gè)左半平面零點(diǎn)起到相位超前、增加阻尼的作用能壓住 P 和 I 帶出來(lái)的超調(diào)。但理想微分沒(méi)法物理實(shí)現(xiàn)實(shí)際都是帶慣性的一階微分更麻煩的是微分對(duì)高頻噪聲極其敏感——噪聲是高頻信號(hào)s 在高頻處幅值暴漲一個(gè) Kd 稍大噪聲就攻城略地。環(huán)節(jié)改什么副作用P把極點(diǎn)往左推加快響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差消不掉I開(kāi)環(huán)加 s0 極點(diǎn)抬系統(tǒng)類(lèi)型升階導(dǎo)致振蕩、響應(yīng)變慢D加零點(diǎn)增阻尼壓低超調(diào)噪聲放大需加濾波所以調(diào) PID 從來(lái)不是三個(gè)旋鈕各管一攤。P 動(dòng)快慢I 動(dòng)精度D 動(dòng)阻尼但它們共享同一組閉環(huán)極點(diǎn)牽一發(fā)動(dòng)全身。這也是為什么課堂寧可花大篇幅講極點(diǎn)位置也不愿意給一套萬(wàn)能參數(shù)表——參數(shù)表是黑匣子極點(diǎn)位置才是地圖。你理解了 P 是推極點(diǎn)、I 是加極點(diǎn)、D 是加零點(diǎn)再去讀任何一篇文章里的調(diào)參口訣都能立刻反推出它背后的極點(diǎn)邏輯。5. 根軌跡與排查增益掃過(guò)去之前先看清分離點(diǎn)和實(shí)軸規(guī)則5.1 根軌跡的本質(zhì)讓閉環(huán)極點(diǎn)跟著增益 K 走路閉環(huán)特征方程 1 KG(s) 0。把 G(s) 寫(xiě)成零極點(diǎn)形式這個(gè)方程在復(fù)平面上等價(jià)于兩個(gè)條件相角條件 ∠G(s) 180°幅值條件 |G(s)| 1/K。相角條件只跟零極點(diǎn)位置有關(guān)跟 K 無(wú)關(guān)K 只改變幅值。所以根軌跡的本質(zhì)是滿(mǎn)足相角條件的所有點(diǎn)連成的曲線(xiàn)就是閉環(huán)極點(diǎn)可能待的地方K 只是在這條曲線(xiàn)上選座。K→0 時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)趨近開(kāi)環(huán)極點(diǎn)K→∞ 時(shí)趨向開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)——起點(diǎn)終點(diǎn)就這樣定死了。理解這一點(diǎn)就會(huì)明白為什么根軌跡畫(huà)出來(lái)就贏(yíng)了它把參數(shù)空間里所有可能發(fā)生的事壓縮成一張圖不用逐個(gè)試 K。5.2 五條幾何規(guī)則從開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)畫(huà)出閉環(huán)軌跡不需要計(jì)算機(jī)手畫(huà)根軌跡靠五條規(guī)則支路數(shù)等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)整張圖關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)實(shí)軸上的軌跡段其右側(cè)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)必須是奇數(shù)n m 時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近線(xiàn)與實(shí)軸夾角是 (2k1)π/(n?m)分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)由 dK/ds 0 的根確定等價(jià)形式是所有極點(diǎn)與該點(diǎn)的倒數(shù)之和等于所有零點(diǎn)與該點(diǎn)的倒數(shù)之和。分離點(diǎn)那一張圖信息量最大軌跡從幾個(gè)極點(diǎn)出發(fā)中途在實(shí)軸上某點(diǎn)撞在一起再分開(kāi)飛向復(fù)平面那個(gè)撞點(diǎn)就是分離點(diǎn)。它直接決定了增益大到什么程度時(shí)系統(tǒng)會(huì)從單調(diào)響應(yīng)變成振蕩響應(yīng)——分離點(diǎn)越靠左臨界增益的余量就越大。import numpy as np Ks np.linspace(0, 20, 201) roots [np.roots([1, 5, 6, K]) for K in Ks] # 特征多項(xiàng)式 s^3 5s^2 6s K即 s(s2)(s3) K 0 # 對(duì)每個(gè) K 求一次根把所有根的實(shí)部虛部收集起來(lái)就是根軌跡這是最常見(jiàn)的驗(yàn)證手段對(duì)每個(gè) K 直接求特征方程根把根的位置畫(huà)出來(lái)就是計(jì)算機(jī)眼中的根軌跡。注意這里的陷阱——代碼得到的是某個(gè) K 下的閉環(huán)極點(diǎn)教材里的根軌跡是所有 K 的集合。兩者信息等價(jià)代價(jià)完全反過(guò)來(lái)手畫(huà)快但不精確掃 K 精確但看不到趨勢(shì)結(jié)構(gòu)。我一般建議先手畫(huà)定趨勢(shì)再用代碼驗(yàn)證拐點(diǎn)兩個(gè)方法互相兜底。5.3 排查五個(gè)手畫(huà)根軌跡的翻車(chē)現(xiàn)場(chǎng)現(xiàn)象一實(shí)軸上的軌跡段畫(huà)反。明明該畫(huà)線(xiàn)的段是空的不該畫(huà)的段反而畫(huà)上了。原因右側(cè)零極點(diǎn)總數(shù)數(shù)成偶數(shù)忘了復(fù)數(shù)極點(diǎn)也要數(shù)進(jìn)去。解決數(shù)實(shí)軸某點(diǎn)右側(cè)的零極點(diǎn)總數(shù)時(shí)把共軛復(fù)極點(diǎn)、復(fù)零點(diǎn)統(tǒng)統(tǒng)算上只關(guān)心右側(cè)總數(shù)是奇是偶永遠(yuǎn)奇數(shù)是軌跡段?，F(xiàn)象二分離點(diǎn)求出來(lái)兩個(gè)解不知道取哪個(gè)。原因dK/ds 0 是必要條件不是充分條件可能是分離點(diǎn)可能是匯合點(diǎn)也可能是根本不在軌跡上的假根。解決把兩個(gè)解代回幅值條件算 KK 必須為正且該點(diǎn)必須落在實(shí)軸軌跡段上不滿(mǎn)足的直接劃掉?，F(xiàn)象三用軟件畫(huà)根軌跡結(jié)果跟手畫(huà)差很遠(yuǎn)。原因工具默認(rèn)的特征方程約定不同有的用 1KG(s)0有的增益定義方向相反還有的繪圖工具做了增益歸一化。解決軌跡形狀其實(shí)一樣差異全在 K 的刻度和正負(fù)號(hào)。第一次用某個(gè)工具前先拿一個(gè)已知系統(tǒng)比如 s(s2)(s3) 驗(yàn)一下方向再投入實(shí)際設(shè)計(jì)?，F(xiàn)象四畫(huà)完軌跡就定增益完全不管零點(diǎn)。根軌跡只畫(huà)閉環(huán)極點(diǎn)但超調(diào)量是零點(diǎn)、極點(diǎn)共同決定的主極點(diǎn)位置選得漂亮零點(diǎn)一搗亂階躍照樣沖過(guò)頭。解決定完 K 必須回到時(shí)域看 step 響應(yīng)看著超調(diào)超了就回來(lái)調(diào) K?，F(xiàn)象五高階系統(tǒng)用主導(dǎo)極點(diǎn)近似結(jié)果翻車(chē)。原因主導(dǎo)極點(diǎn)近似的前提是其余極點(diǎn)離虛軸足夠遠(yuǎn)且附近沒(méi)有強(qiáng)零點(diǎn)系統(tǒng)存在靠近虛軸的共軛副極點(diǎn)時(shí)近似的誤差極大。解決先用勞斯判據(jù)確認(rèn)全體極點(diǎn)都在左半平面再比較最近兩對(duì)極點(diǎn)的實(shí)部比值別默認(rèn)高階都是二階。5.4 驗(yàn)證根軌跡是地圖不是目的地選增益的標(biāo)準(zhǔn)做法是沿軌跡找一個(gè)阻尼比合適的點(diǎn)比如 ξ≈0.707讀出對(duì)應(yīng)的 K然后立刻回到時(shí)域驗(yàn)證。這一步經(jīng)常暴露出根軌跡說(shuō)不出口的短板它只告訴你在某 K 下極點(diǎn)在哪不告訴你零點(diǎn)在哪、輸入幅值多大、非線(xiàn)性環(huán)節(jié)什么時(shí)候觸發(fā)。所以根軌跡上看著是 0.707 阻尼只代表線(xiàn)性小信號(hào)下的期望真正落實(shí)驗(yàn)收得跑一步階躍響應(yīng)再掃幾組輸入幅值看看線(xiàn)性假設(shè)還成不成立。筆記把這一步叫從根軌跡和頻域回到時(shí)域看終值本質(zhì)上是一個(gè)閉環(huán)設(shè)計(jì)工具負(fù)責(zé)猜時(shí)域仿真負(fù)責(zé)驗(yàn)收。6. 最后一公里的取舍極點(diǎn)位置不是全部回到時(shí)域才算數(shù)這套筆記停在奈奎斯特圖第一部分再往后走一步就是狀態(tài)空間、卡爾曼濾波和模型預(yù)測(cè)控制。值得停下來(lái)想清楚的是為什么 MPC 和最優(yōu)控制里幾乎不再提極點(diǎn)因?yàn)楦壽E和勞斯判據(jù)解決的是單個(gè)標(biāo)量增益下閉環(huán)怎么變而現(xiàn)代控制把設(shè)計(jì)對(duì)象換成了狀態(tài)空間模型把目標(biāo)換成了代價(jià)函數(shù)最小化。極點(diǎn)還在但不再以分母的根的形式出現(xiàn)而是變成狀態(tài)矩陣的特征值并且整個(gè)框架一次性處理多輸入多輸出。換句話(huà)說(shuō)傳遞函數(shù)是單入單出時(shí)代的優(yōu)秀抽象它的表達(dá)力有邊界這份筆記的定位恰恰是把邊界內(nèi)最硬核的部分講透。我的看法是學(xué)完根軌跡最該形成的習(xí)慣不是會(huì)畫(huà)圖而是畫(huà)完圖必須回到時(shí)域驗(yàn)收。極點(diǎn)位置決定收斂不發(fā)散零點(diǎn)決定起步方向輸入幅值決定非線(xiàn)性是否被觸發(fā)——這三個(gè)因素只有湊齊了才能解釋一個(gè)真實(shí)的階躍響應(yīng)。從那以后我每次用根軌跡或者 PID 設(shè)計(jì)完參數(shù)都強(qiáng)制走一遍同樣的流程先勞斯判據(jù)排除右半極點(diǎn)再畫(huà)閉環(huán)階躍看超調(diào)和調(diào)節(jié)時(shí)間最后掃三組輸入幅值看非線(xiàn)性有沒(méi)有偷偷上線(xiàn)。這套檢查比任何一張軌跡圖都值錢(qián)。這套十三期筆記的價(jià)值也正在于把每一步推導(dǎo)都還原成先問(wèn)機(jī)制、再動(dòng)筆算的順序適合對(duì)照著親手推一遍把自動(dòng)控制原理的骨架搭起來(lái)。希望幫到你。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取